Función Cuadrática. Características

Una función de la forma:

 

f (x) = a x ² + b x + c

con a, b y c pertenecientes a los reales y a ¹ 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola.

En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:

                  

si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Estas curvas tienen ciertos elementos que la identifican como veremos en el siguiente gráfico:

Autor: Leoncio Santos Cuervo

Raíces

Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores  de x  para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.  Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:

 

              

Prueba con el simulador anterior como varían las raíces de la función cambiando los valores de los términos 

Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0, entonces

ax² + bx +c = 0

Pero para resolver ax² + bx +c = 0 observamos que no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante. Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:

al resultado de la cuenta  b²  - 4ac se lo llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades:

     Si  b²  - 4ac > 0    tenemos dos soluciones posibles.

     Si  b²  - 4ac =  0   el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real.

     Si  b²  - 4ac <  0   la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real.

Entonces, si la ecuación esta completa ya sabemos como calcular las raíces (con la fórmula) y si la ecuación es incompleta solo basta despejar la variable x de la ecuación:

Simetría

La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x₁, p) y (x₂, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea 

1er caso: ax2 + bx = 0

2do caso: ax2 + c = 0

Vértice

El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x, que notaremos x_v vale:

Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función.

En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba (lo veremos a continuación).

Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la siguiente manera:

Concavidad

Otra característica es si la parábola es cóncava o convexa:

En el siguiente simulador cambia los valores de a, dándole valores positivos y valores negativos.

 

También suele decirse que:

   Si  a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba.

   Si  a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo.

PÁGINA INICIAL

EJERCICIO RESUELTO